Variables hydrauliques

Largeur au miroir B

Section rectangulaire

$B=L$

$B'=\dfrac{dB}{dy}=0$

Section circulaire

$B=D\sin\theta$

$B'=\dfrac{dB}{dy}=D.\theta'\cos\theta$

Section trapézoïdale

$B=L+2..m.y$

$B'=\dfrac{dB}{dy}=2.L.m$

Section parabolique

$B=\dfrac{B_b}{y_b^k}y^k$

$B'=\dfrac{dB}{dy}=\dfrac{B_b.k}{y_b^k}y^{k-1}$

Périmètre mouillé P

Section rectangulaire

$P=L+2y$

$P'=\dfrac{dP}{dy}=2$

Section circulaire

$P=D.\theta$

$P'=\dfrac{dP}{dy}=D.\theta'$

Section trapézoïdale

$P=L+2y\sqrt{1+m^2}$

$P'=\dfrac{dP}{dy}=2\sqrt{1+m^2}$

Section parabolique

$P=2\sum _{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{4}\left( B\left(\dfrac{i.y}{n}\right)-B\left(\dfrac{(i-1).y}{n}\right) \right)^2}$ pour n suffisamment grand

$P'=\dfrac{dP}{dy}=2\sqrt{1+\left(\dfrac{B'}{2} \right )^2}$

Surface mouillée S

Section rectangulaire

$S=L.y$

$S'=\dfrac{dS}{dy}=B$

Section circulaire

$S=\dfrac{D^2}{4} \left(\theta - \sin\theta.\cos\theta \right)$

$S'=\dfrac{dS}{dy}=B$

Section trapézoïdale

$S=(L+m.y)y$

$S'=\dfrac{dS}{dy}=B$

Section parabolique

$S=\dfrac{B_b}{y_b^k}\dfrac{y^{k+1}}{k+1}$

$S'=\dfrac{dS}{dy}=B$

Rayon hydraulique R

$\dfrac{S}{P}$

Froude Fr

$Fr=\dfrac{U}{c}=\sqrt{\dfrac{Q^2 B}{g S^3}}$

Vitesse moyenne V

$V=\dfrac{Q}{S}$

Tirant d'eau normal Yn

La hauteur normale est atteinte quand la ligne d’eau est parallèle au fond, la charge est alors elle-même parallèle à la ligne d’eau et donc la perte de charge est égale à la pente du fond : $If=J$

Avec :

• $I_f$ : la pente du fond (en m/m)
• $J$ : la perte de charge (en m/m )

Pour calculer la hauteur normale $Y_n$, on peut résoudre

$f(Y_n)=Q-KR^{2/3}S\sqrt{I_f}=0$

en utilisant la méthode de Newton :

$h_{k+1} = h_k - \dfrac{f(h_k)}{f'(h_k)}$

avec :

• $f(h_k) = Q-KR^{2/3}S\sqrt{I_f}$
• $f'(h_k) = -K \sqrt{I_f}(\dfrac{2}{3}R'R^{-1/3}S+R^{2/3}S')$

Tirant d'eau critique Yc

La hauteur critique est atteinte quand le nombre de Froude $Fr=1$.

$f(Y_c)=Fr^2-1=0$

On utilise la méthode de Newton en posant

$h_{k+1} = h_k - \dfrac{f(h_k)}{f'(h_k)}$

avec :

• $f(h_k) = \dfrac{Q^2 B}{g S^3} - 1$
• $f'(h_k) = \dfrac{Q^2}{g} \dfrac{B'.S - 3 B S'}{S^4}$

Tirant d'eau correspondant Ycor

Tirant d'eau conjugué Ycon

Charge spécifique Hs

$H_s = \dfrac{V^{2}}{2g}$

Charge critique Hsc

$H_{sc} = Y_c + \dfrac{V(Y_c)^{2}}{2g}$

Perte de charge J

La perte de charge $J$ est calculée avec la formule de Manning-Strickler :

$J=\dfrac{U^2}{K^{2}R^{4/3}}=\dfrac{Q^2}{S^2K^{2}R^{4/3}}$

Avec $K$ le coefficient de Strickler (en $m^{1/3}/s$)

Variation linéaire de l'énergie spécifique I-J

Impulsion Imp

C'est la somme de la quantité de mouvement et de la résultante de la force de pression dans une section :

$I=\rho Q U + \rho g S \overline{h}$

Avec :

• $I$ : l'impulsion (kg.m.s-2)
• $\rho$ : la masse volumique de l'eau (kg/m3)
• $Q$ : le débit (m3.s-1)
• $V$ : la vitesse moyenne du fluide dans la section (m.s-1)
• $g$ : la constante de gravité (m.s-2)
• $S$ : la surface mouillée (m2)
• $\overline{h}$ : la distance du centre de gravité de la section à la surface libre (m)

La distance du centre de gravité de la section à la surface libre $\overline{h}$ peut se retrouver à partir de la formule :

$S.\overline{h} = \int_{0}^{y} (y-z)B(z)dz$

Avec $y$ le tirant d'eau et $B(z)$ la largeur au miroir pour un tirant d'eau $z$

Section rectangulaire

$S.h = \dfrac{L.y^2}{2}$

Section circulaire

$S.h = \dfrac{D^3}{8}\left (\sin\theta - \dfrac{\sin^3\theta}{3} - \theta \cos\theta \right )$

Section trapézoïdale

$S.h = \left (\dfrac{L}{2} + \dfrac{m.y}{3} \right )y^2$

Section parabolique

$S.h=\dfrac{B_b.y^{k+2}}{y_b^k(k+1)(k+2)}$

Force tractrice Tau0